在国际的前史长河中，就古修建而言，最具有视觉美感的，毫无疑问是源源不停、连绵不停的我国古修建。修建的美学能够表现在方方面面，比方造型、规划、资料、颜色、结构、细部雕琢等，在这些美学的原动力中，彻底来源于人类智力活动的，唯有包含其间的数学暗码：形状、份额、规范等。古希腊数学家毕达哥拉斯说过：万物皆数，数支配着世界；而大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星斗”，表述了他对修建、数学以及世界星斗的认知。
这是宋代著名画家和书法家、宋徽宗赵佶的著作《瑞鹤图》，描绘了汴梁宣德门外仙鹤群舞的祥和气氛。除了仙鹤之外，画家选用写意写实的画法、俯瞰的视角，对修建进行了详尽的描画，烘托层次分明、配景五光十色。从修建规划者视点来看，这可视为一幅加盖红章的宋代修建屋盖立面图。这幅画也被电视剧《大宋宫词》选作片头，展示了大宋修建的风格特色。
画中描绘的庑殿顶修建中，曲线美丽的青瓦屋面，规范调和的鸱尾吻兽、造型舒展的飞檐斗栱，展示了我国古修建特有的神韵。宋徽宗的瘦金体瘦硬刚毅、金钩铁划，提醒了书法的本质结构。今世修建制图的仿宋字正是滥觞于宋。咱们就从这幅画表现出来的修建元素动身，来提醒包含其间的数学暗码。
要全面详细地了解宋代修建与数学的联系，单从画作去了解是不行的，需求结合工程营建的前史资料和现存的古修建什物进行更深化的剖析。咱们首要选取现存宋代修建代表作——晋祠圣母殿、宋代李诫（一说为李诚）所著的《营建法度》等古建资料作为研讨目标。
作为整个修建冠冕的屋面，修建造型艺术发挥得酣畅淋漓。咱们的研讨侧重剖析两个数据：屋面的圆心角A（° ）、坡屋面高度半径H/半坡宽度W。
以上是晋祠圣母殿和《营建法度》中四个典型的屋面剖面图。从图中能够看到，五个屋面的圆心角分别为：29°、29°、30°、31°、34°，平均值为30.6°；H/W分别为：0.533、0.579、0.587、0.583、0.607，平均值为：0.578。我对其它更多宫廷、厅堂的什物和资料进行了核算，底子数据相似。因而能够得到古修建中房顶的第一个数学暗码：从檐口到屋脊，以圆弧拟合屋面曲线°；第二个数学暗码：从檐口到屋脊，坡屋面高度半径H/半坡宽度W=0.57±0.3。这些数据表达了古人的审美情味，现代仿古修建：包含庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶修建，均宜参照这两个暗码营建。
从对房顶曲线进行数学拟合时，却发现圆弧的拟合度并非最佳。那么什么曲线的拟合度最好？经过对多个屋面曲线的模仿测验，能够看出绿色的曲线是最佳的。这条曲线是摆线或旋轮线，也叫最速降线，便是在起点与结尾确认而且疏忽阻力的景象下，物体下滑所需时刻最短的曲线。屋面除了审美需求，为了避免积水和渗漏，底子用处是希望能以最快的速度排水。最速降线年才由牛顿、伯努利等欧洲的数学家们整理解的，古代的我国工匠们不或许知晓，他们模仿的是圆弧，可是在合作举架的模数确认相关规范时，刚好拟合成了最速降线。一起，屋面曲线在檐口处的切线底子水平，使水流排出屋面后，以平抛的抛物线脱离屋面，这不得不说又表现了工匠们的才智。正是这种做法，确保了屋面不积水而且能够把雨水排到最远，以便更好地维护房子的根底（地盘）。
咱们以拟合屋面的数学方程的方法，表达对古代营建者的敬意。最速降线的参数方程：x=R(θ-sinθ), y=R(1-cosθ)。平抛抛物线)咱们得到了第三个数学暗码：最速降线平和抛抛物线。
杜牧用“廊腰缦回，檐牙高啄；各抱地形，明争暗斗”展示阿房宫的高耸，欧阳修用“有亭翼然临于泉”描绘醉翁亭的潇洒。可是古修建的屋面美则美矣，是否有不足之处呢？
咱们看一下圣母殿的实景图和按资料力学制造的弯矩图，并用现代数学的方法来做结构力学剖析。从图上能够看到，外挑的屋檐的弯矩，与屋架内部的弯矩不和谐，檐椽悬挑规范明显过大。因为檐椽的弯矩M1=qL1²/2, 上架椽的弯矩M2=qL2²/10，L1与L2大体持平（L1乃至更大），那么弯矩份额到达5倍之多。这必然会导致两种或许：要么檐椽不安全，要么上架椽断面规范过大构成无谓的糟蹋。
从规范份额的和谐性来说，削减檐口外挑规范是削足适履，不可行。那么工匠们是怎么来处理这个对立的？从资料功能和营建技能动身，他们给出的答案是—斗栱（或写作斗拱）。斗栱开始是作为檐椽下面的斜三角支撑，能够削减檐椽的外挑规范，然后减小弯矩，到达与上架椽底子和谐的意图。五台山佛光寺东大殿是唐代遗存的什物，斗栱正经质朴，以有用为要务，充分表现了作为结构受力构件的内在，完成了力与美的一致。从数学上说，斗栱的全体形象相似三角形，符合三角不变形的几许原理。下图为梁思成先生的手绘图以及佛光寺东大殿现状斗栱相片。
斗栱起到出跳承檐的效果，支撑方位约在檐出的0.6~0.7倍，檐椽的根部弯矩削减为本来的1/5左右，与上架椽弯矩的份额到达完美的1:1，而且斗栱造型独特、制造精巧，结构与装饰合二为一，给修建增添了风貌。这便是我国古修建的第三个数学暗码：不变形三角的斗栱支撑效果和1:1弯矩。
惋惜唐代以降，斗栱在结构上起的效果越来越少，款式上却越来越繁复虚浮，简直沦为了奢华的雕饰。宋《营建法度》和清工部《清式营建则例》中，除了柱头铺作，更有补间铺作之类糟蹋资料的负担，实属弄巧成拙。
立面是整个修建的底子份额，从剖面图中更能看清楚这种联系。下图中的故宫太和殿和曲阜孔庙大成殿均为重檐庑殿顶，11开间，黄瓦覆顶，是最高形制的殿堂修建。
经过很多数据核算能够看出，古代殿堂修建的立面规范份额大体上是固定的，重檐屋盖层：重檐斗栱层：副阶屋盖层：副阶斗栱层：柱框层≈18：4：7：3：8；单檐屋盖层：斗栱（铺作）层：柱框层≈35：7：20；这些份额是古修建的第四个数学暗码。
古修建的正面柱子，是区分开间的标志物，也是最重要的竖向受力构件，在修建中有着无足轻重的位置，而且长细比不只影响柱子的承载才干，也直接奠定了修建的美学基调。所以从数学的视点对此进行研讨很有必要。
今世对柱子的受力剖析，理论根底是欧拉公式。欧拉公式核算压杆失稳的临界应力，用于工程实践中时，以构件长细比为基准核算安稳系数，然后确认构件的承载才干。为了充分发挥柱子的承压才干，咱们以安稳系数0.95为规范，确认柱子长细比为36，对应的柱子高径比为9:1。实测核算数据标明，古修建的柱子高径比在10：1~7：1之间，与现代数学核算结果不约而同。看来九头身份额和谐，不光受力合理，也符合古今大多数人的审美认识。古修建的第五个数学暗码：圆柱高径比（柱子高度：柱子直径）为10：1~7：1。
古修建的柱子，实践作法是柱脚向外歪斜1%左右（侧脚），角柱高度高于平柱（角柱生起），这固然有美学和结构的要求，我个人觉得与数学（力学）的联系是一望而知的，因为从视觉效果来看，1%的歪斜度明显不足以引起留意。古代工匠或许关于修建抗震不会有太多的概念，但风荷载的效果的确是日子中的直接经验。经核算标明，数学上来说，在x值很小时，sinx≈tanx≈x，能够核算出，在柱子的侧脚效果下，修建供给的水平承载力与风力效果、地震效果底子适当，这应该是工程实践中得出的直接经验数据，一起角柱生起对反抗水平力也能起到效果。古修建的第六个数学暗码：1%的柱子侧脚和角柱生起。
无论是宋代《营建法度》仍是清工部《清式营建则例》，受力梁的宽高比固定在2:1。古修建的首要受力构件梁椽、楼板、柱子都是木头，因而工匠只能因材而作。因为构件的拼接需求，梁一般做成矩形。梁是首要的水平受力构件，承载才干是首要考虑的问题。圆形的木头加工成矩形断面，怎样的份额承载力是最高的？工匠们确认的份额是否适宜？现代数学上能找到依据吗？古书没有给出答案，咱们测验从数学核算和力学剖析视点进行解密。
梁作为水平或斜向受弯构件，除了资料自身的特性，截面反抗矩W是仅有的规范。矩形截面反抗矩W=BH²/6，（其间B为垂直于弯矩效果方向的长度），木材自身的圆形直径D是确认的，就需求从数学视点来挑选适宜的高宽比H：B。
如图：设定木材半径为D，依据勾股定理有：H²+B²=D²，，∵依据数学均值不等式，几许平均数算术平均数，∴当，即时，最大值=，当W取最大值时，要求，假如木头的仅从出材率考虑，最佳的方法是圆中截取正方形，所以这个份额明显是有意为之。《营建法度》上说（梁高宽比）“系来自作业相传，并是经久能够引证之法”，是最接近完美的整数比，是古代劳动者在生产实践中总结出来的才智结晶！这便是古修建的第七个数学暗码：受力梁高宽比2:1。
榫卯衔接结构是我国古代一项巨大的技能发明，为世人所熟知。那么榫卯节点问题的本质是什么？我以为，榫卯节点是古建营建时一个很有含义的数学立体几许课题。这个标题需求处理：在三维的条件下，怎么合理地制造三个杆件的榫头，使得在有限空间内，三向杆件均能有用咬合后到达最大的刚度，而且在正常运用状况下不松动、不脱榫？因为空间有限且固定，需求统筹漂亮要求和现场施工拼合的可行性。这需求进过十分详尽的规划，精心安排三个方向的榫头排布才干做到。
榫卯节点是杂乱的结构，古代工匠在技能实践过程中，针对各种构件作出了完美的答卷，馒头榫、燕尾榫、箍头榫、透榫等，方式精巧，受力合理。有心者能够另查详细资料，本文不作太多的介绍。这是古修建的第七个数学暗码：榫卯衔接结构的完美立体几许结构。
应当指出的是，榫卯结构因为受资料约束，是一种半刚性节点，会有必定的形变。为了操控运用中过大的变形，工匠们在营建中采纳的第一道办法：运用各种形状的楔子来紧固节点。这是一种预应力配件，经过操控楔子视点，使得加大压力时添加的摩擦力大于压力的分力，到达自锁或互锁的效果，使节点处于接受预压的受力状况。燕尾榫则运用梯形下底边大于上底边来确保咬合不脱榫。
工匠们采纳的第二个办法是，在梁柱节点运用雀替和牛腿。雀替和牛腿本质上是同一类古建构件，一起起到加强结构节点和修建装饰的效果。它们都相似三角形支撑，运用了三角不变形的特色，约束节点的滚动。江南修建中的牛腿撑栱雕饰，酣畅淋漓地发挥了圆雕、浮雕、透雕、镶嵌等技法，是东阳木雕中的精华之作。
古建室表里装饰选用木头和砖瓦石等资料，而且与家具紧密结合。比方木门窗、栏杆、天花藻井、花罩、碧纱橱、博古架、砖瓦花窗、地上拼花等等，这些装饰款式是图画的渊薮，平面几许中的线条、形状简直无一遗失。图画品种琳琅满目，工艺方法精彩纷呈。
古希腊柏拉图学院门口从前立着一块牌子：“不明白几许者勿入”，凸显了几许在生产日子中的重要性，我国古建严厉遵从了几许对称准则。工匠们在制造时遍及选用了对称、旋转、线条勾连、平面镶嵌、曲面辐射等手法，并结合覆色、彩画、雕琢、砌筑等传统工艺，构成独具特色的装饰风格。这便是古修建的第八个数学暗码：平面几许图形的归纳使用。
古代房子规划施工一体化，统筹营建者一起也是规划者。比方紫禁城规划师蒯祥，修建规划世家“款式雷”等等。古代修建规划者选用了一些与现代修建规划不同的表达方法。
现代修建规划选用的是肯定规范与模数制，图纸上注明绘图份额。而《营建法度》选用的是“材栔分”制，《清式营建则例》选用的是“斗口”制。这两种营建准则，直接以主材规范作为绘图基数，其它规范均为基数的倍数联系。这样一来，不同规制规范的修建，适当于用不同的份额尺对图纸进行放缩，模型或图纸就有了通用性。这是古修建的第九个数学暗码：“材栔分”制和“斗口”制的份额尺效果。
现代制图选用平立剖图、轴测图、透视图制造，《营建法度》上为了表达清楚层层叠叠的斗栱联系，发明了一种特别的绘图法：变角透视图。这是一种介于轴测图和透视图之间的绘图法，从技能上说，并不符合画法几许的数学投影联系，而是相似于现代广角摄影术。以此法制造的图样，统筹了有用性和可读性，这是一种务实的才智。这是古修建的第十个数学暗码：变角透视法。
依照奥多姆剃刀原理，如非必要，勿增实体。我国古修建很好地遵循了有用、天然、内敛的准则，美学与力学相辅相成，与数学上简练、本真的要求不约而同。相对而言，某些古文明修建张扬虚浮、装腔作势的风格，直到包豪斯主义的呈现才有所收敛。
我国古修建是集技能和艺术于一身的宝库。先贤们经过技能手法，很好地符合了现代数学和力学常识。本文对包含其间的数学暗码的剖析不免挂一漏万，希望能起到抛砖引玉的效果，更等待专才们的进一步开掘。尽管今世修建风格、修建资料、营建手法等与古时候比较有了底子性革新，但我国古修建是前辈们筚路褴褛、餐风露宿发明的劳动成果和才智结晶，古建营建术包含了朴素的数学思维和哲学内在，今人如能融会贯通并吸收使用，不啻为是对我国古修建最具有年代含义的匠心传承。
